* Xét tứ giác AOBM, ta có:

DA = DB (gt)

DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ BM // AO và BM = AO (1)

* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt)

EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ CN // AO và CN = AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra:BM // CN và BM = CN.

Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE // BC (1)

     DE = BC/2 (2)

D là trung điểm của OM (M đối xứng với O qua D)

E là trung điểm của ON (N đối xứng với O qua E)

=> DE là đường trung bình của tam giác OMN

=> DE // MN (3)

     DE = MN/2 (4)

Từ (1) và (3)

=> MN // BC (5)

Từ (2) và (4)

=> MN = BC (6)

Từ (5) và (6)

=> MNCB là hình bình hành

Δ ABC có: D là trung điểm của AB

                 E là trung điểm của AC

=> DE là đường trung bình của ΔABC

=> DE=1/2 BC và DE//BC (1)

Δ MON có: D là trung điểm của cạnh OM

                 E là trung điểm của cạnh ON

=> DE là đường trung bình của Δ MON

=> DE=1/2 MN và DE//MN (2)

Từ (1) (2) => BC= MN và BC//MN( //DE)

Tứ giác MNCB có: BC=MN và BC//MN

=> MNBC và hình bình hành

a: Xét tứ giác OAMB có 

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của OM

Do đó: OAMB là hình bình hành

Xét tam giác COA tao có FD là đường trung bình 

=> FD = 1/2 A'C' 

chứng minh tương tự FD = 1/2 AC => A'C' =AC

chứng minh tương tự B'C"= BC; A'B'=AB

vậy tam giác ABC =tam giác A'B'C'

 Võ Hồng Nhung                                                                                                                 

               1 phút trước (15:05)

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi O là 1 điểm bất kì. A' là điểm đối xứng với O qua D, B' là điểm đối xứng với O qua E, C' là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm.

Xét tứ giác AB'CO, có AE=EC, OE=EB' =>AB'CO là hình bình hành=>AB'//CO và AB'=CO  (1)

Tương tự, A'B //CO và A'B=CO    (2)

Từ (1) và(2) => AB'//A'B và AB'=A'B =>AB'A'B là hình bình hành => AA' và BB' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường(*)

Tương tự, BB' và CC' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường(**)

Từ (*0 và (**) => AA',BB',CC' đồng quy

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$ có $D$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm của $AC$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

Do đó: \(\left\{\begin{matrix} DE=\frac{1}{2}BC\\ DE\parallel BC\end{matrix}\right.(1)\)

Do $M,N$ đối xứng với $O$ lần lượt qua $D,E$ nên $D,E$ là trung điểm của $OM,ON$ (theo thứ tự)

Suy ra $DE$ là đường trung bình của tam giác $OMN$ ứng với cạnh $MN$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} DE=\frac{1}{2}MN\\ DE\parallel MN\end{matrix}\right.(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(BC=MN; BC\parallel MN\), chứng tỏ $MNCB$ là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)